已经很久没有写技术文章了，脑袋瓜有点生锈，写的不好别见怪，今天就是想带点干货给大家分享一下。文章的内容有一点点难度，不过基本都是计算机组成原理的知识，算是温故而知新吧！

学过JavaScript的童鞋应该非常清楚，0.1 + 0.2 是不等于0.3的，而是等于0.30000000000000004，至于为什么会这样？好像有点说不清楚，只知道是JavaScript精确度问题，其他不得而知了。没关系，看完慢慢就懂了！

目录

• 浮点数十进制转二进制
• IEEE 754 标准
• 浮点数二进制运算
• 实践扩展

十进制转二进制

0.1的二进制：0.000110011......0011......(0011无限循环)

0.2的二进制：0.00110011......0011...... (0011无限循环)

说明：转换过程就不在这边描述了

IEEE 754 标准

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。

这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number）），一些特殊数值（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。

百度百科

浮点数存储格式

上图是64位的双精度浮点数，最高位是符号位S（sign），中间的11位是指数E（exponent），剩下的52位为尾数（有效数字）M（mantissa）。

浮点数科学计数法

根据IEEE 754标准，任意一个浮点数的二进制都可以用如下公式进行表示：

S为符号位：表示浮点数的正负（0代表正数，1代表负数）；

E为指数位：存储指数，该数都会加上一个常数（偏移量），用来表示次方数；

M为尾数位：表示有效位（尾数），超出的部分自动进1舍0；

双精度的浮点数真值（带有正负号的数值是真值）最终可以表示为：

说明：E是无符号整数，长度是11位，取值范围是为0~2047。因为科学计数法中的指数是可以为负数，所以约定减去一个中间数（偏移量）1023，[0，1022] 表示为负，[1024，2047] 表示为正。

浮点数二进制运算

规格化

大部分二进制浮点数都以规格化格式进行存放，以便将有效数字的精度最大化，提升精确度。

0.1的二进制

0.000110011001100110011001100110011001100110011001100110011...... (0011无限循环)

0.1科学计数法表示

小数点向右移动4位，让其小数点左边只有一个“1”。

1.10011001100110011001100110011001100110011001100110011......(0011无限循环) * 2^-4

根据IEEE754标准，双精度浮点的尾数只能存储52位，红色的“1”是第53位，根据进1舍0的原则进行操作，操作后的值为：

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010* 2^-4

0.1二进制存储格式

指数-4等于1019（E） – 1023（常量），由此可得E等于1019，把1019转为二进制1111111011。

最终表示如下：

0,01111111011;1001100110011001100110011001100110011001100110011010

说明：红色为符号位；绿色为指数位；蓝色为尾数位；

0.2的二进制

0.001100110011001100110011001100110011001100110011001100110011...... (0011无限循环)

0.2科学计数法表示

小数点向右移动3位，让其小数点左边只有一个“1”。

1.10011001100110011001100110011001100110011001100110011......(0011无限循环) * 2^-3

红色的“1”是第53位，根据进1舍0的原则进行操作，操作后的值为：

1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010...... (0011无限循环) * 2^-3

0.2二进制存储格式

指数-3等于1020（E） – 1023（常量），由此可得E等于1020，把1020转为二进制1111111100。

最终表示如下：

0,01111111100;1001100110011001100110011001100110011001100110011010

说明：红色为符号位；绿色为指数位；蓝色为尾数位；

对阶

对阶的目的是使两数的小数点位置对齐，方便两数进行运算，换句话说就是两数的阶码要相等。根据小阶向大阶看齐的原则，应使0.1的尾数向右移动1位（可以理解为小数点向左移动1位），阶码加1。

尾数向右移动1位后，阶码和尾数的值变化如下：

阶码：01111111011 + 1 ——> 01111111100

尾数：

11001100110011001100110011001100110011001100110011010

——> 1100110011001100110011001100110011001100110011001101

蓝色的“1”是右移补的位，红色的0是舍去的位，根据IEEE 754标准双精度浮点的尾数只能存储52位，遵循进1舍0的原则进行操作。

0.1的科学计数法表示：

0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101 *2^-3

0.1的二进制存储格式：

0,01111111100;1100110011001100110011001100110011001100110011001101

尾数求和

尾数部分M通常都是规格化表示的，非"0"的尾数其第1位总是"1"，而这一位也称作隐藏位，因为存储的时候该位会被省略。比如存储1.0110时，只存储尾数0110，等到读取的时候才把第1位的1加补上去，这么做相当于多保存了1位有效数字。

0.1的尾数 + 0.2的尾数 = 

0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101 + 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 = 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111

由此可得：

0.1 + 0.2 = 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111* 2^-3

结果规格化

根据尾数求和的结果，进行规格化处理，即尾数向右移1位，阶码加1。

1.00110011001100110011001100110011001100110011001100111 * 2^-2

尾数只能存储52位，红色的“1”需要舍去，根据进1舍0的原则进行操作可得：

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100* 2^-2

二进制存储格式：

指数-2等于1021（E） – 1023（常量），由此可得E等于1021，把1021转为二进制01111111101；

0,01111111101;0011001100110011001100110011001100110011001100110100

溢出判断

浮点数的溢出其实是阶码的溢出表现出来的，在算术运算过程中要检查是否产生了溢出。若阶码正常，算术运算正常结束；若阶码溢出，则要进行相应处理。

如上求和结果的阶码为01111111101，没有产生溢出，因此运算结束。

结果转为十进制

二进制存储格式是计算机存储和运算的格式，此时把二进制转为十进制，我们可以看看最终求和的值会是多少？

规格化的值是转为非规格化

指数的值为2，将规格化的小数点向左移动2位即可。

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100* 2^-2

——>

0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100

非规格化的值转成十进制

0.1 + 0.2 = 

0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125

此时此刻，你应该明白JavaScript中0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004 这个值是怎么来的吧。

实践扩展：

为了方便大家学习与实践，提供如下PHP实践代码，它是将“0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100”转成十进制的功能代码，大家可以尝试测试一下。

var_dump(number_format(0+ 1 * pow(2, -2) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -5) + 1 * pow(2, -6) + 0 + 0 + 1 * pow(2,-9) + 1 * pow(2, -10) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -13) + 1 * pow(2, -14) + 0 + 0 + 1 *pow(2, -17) + 1 * pow(2, -18) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -21) + 1 * pow(2, -22) + 0 +0 + 1 * pow(2, -25) + 1 * pow(2, -26) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -29) + 1 * pow(2,-30) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -33) + 1 * pow(2, -34) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -37) + 1* pow(2, -38) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -41) + 1 * pow(2, -42) + 0 + 0 + 1 * pow(2,-45) + 1 * pow(2, -46) + 0 + 0 + 1 * pow(2, -49) + 1 * pow(2, -50) + 0 + 1 *pow(2, -52) + 0 + 0, 52));

好了，干货分享完毕，谢谢大家！